Les nombres décimaux en sixième : le rang, les écritures, et la division qui déborde
Les décimaux sont le chapitre que tout le monde croit connaître depuis le CM2. La sixième y ajoute pourtant deux choses neuves — la multiplication de deux décimaux, et le lien entre multiplier par 0,1 et diviser par 10 — et elle borne la division beaucoup plus étroitement qu'on ne le croit.
CE QUE LE PROGRAMME DEMANDE
- Nombres entiers et décimaux : valeur des chiffres selon leur rang ; liens entre unité, dizaine, centaine, millier, dixième, centième, millième ; grands nombres entiers ; reconnaître un nombre décimal ; définition d'un pourcentage ; associer et utiliser différentes écritures d'un décimal — écriture à virgule, fraction, nombre mixte, pourcentage ; placer et repérer sur une demi-droite graduée ; comparer, ordonner, encadrer et intercaler ; valeur arrondie à l'unité, au dixième ou au centième.
- Calcul sur les décimaux : additionner et soustraire ; multiplier par 0,1, 0,01 et 0,001 et faire le lien avec la division par 10, 100 et 1 000 ; comprendre le sens de la multiplication de deux décimaux et calculer leur produit ; contrôler les résultats à l'aide d'ordres de grandeur ; diviser un décimal par un entier non nul inférieur à 10 ; effectuer la division euclidienne d'un entier par un entier inférieur à 100 ; résoudre des problèmes mettant en jeu multiplications, divisions décimales et divisions euclidiennes.
Extrait du programme de mathématiques en 6ème — voir le programme complet et son calendrier.
Ce que ce niveau ajoute
Multiplier par 0,1 EST diviser par 10, et c'est à démontrer
Le programme ne demande pas seulement de savoir multiplier par 0,1 ; 0,01 et 0,001 : il demande de faire le lien avec la division par 10, 100 et 1 000. C'est ce lien qui évite la règle mécanique du « décalage de virgule », laquelle survit au collège et s'effondre dès qu'on la sort de son cas d'usage.
Le produit de deux décimaux entre au programme
Au CM2 on multipliait un décimal par un entier. La sixième ajoute le sens de la multiplication de deux décimaux et le calcul de leur produit, avec le contrôle par ordre de grandeur en accompagnement obligé — c'est lui qui rattrape la virgule mal placée.
Les pièges de mise en œuvre
Ces points ne figurent pas comme tels dans le texte officiel : ce sont les écarts qu'on observe le plus souvent entre ce que le programme borne et ce que l'on trouve dans les exercices en circulation.
La division est bornée, et la borne est plus basse qu'on ne pense
En sixième, on divise un décimal par un entier non nul INFÉRIEUR À 10, et on pose la division euclidienne d'un entier par un entier inférieur à 100. Diviser par un nombre décimal est au programme de cinquième. 13,535 ÷ 3,84 ou 45,36 ÷ 0,09 ne sont donc pas des exercices difficiles de sixième : ce sont des exercices de cinquième. Nous l'avons mesuré sur une génération réelle, et c'est ce qui a fait ajouter la ligne manquante à notre propre référentiel.
« Arrondi » et « valeur approchée » ne sont pas interchangeables
Le programme demande la valeur arrondie à l'unité, au dixième ou au centième. Un énoncé qui dit « donne une valeur approchée » sans préciser le rang laisse l'élève choisir, et rend la correction arbitraire — le rang fait partie de la consigne, pas du barème.
Les écritures d'un décimal sont quatre, pas deux
Écriture à virgule, fraction, nombre mixte, pourcentage : le programme demande d'associer et d'utiliser ces différentes écritures. Un chapitre qui ne travaille que la virgule et la fraction laisse deux portes fermées, dont celle qui sert toute l'année suivante en proportionnalité.
La ligne à ne pas franchir
Le programme borne aussi par le haut. Sur ce chapitre précisément, voici ce qui relève du niveau suivant — le traiter en 6ème n'avance pas les élèves, ça les met en difficulté sur des acquis qu'ils n'ont pas encore.
- Division PAR un nombre décimal, et division d'un décimal par un entier supérieur ou égal à 10 (5e) — en 6e : diviser un décimal par un entier non nul inférieur à 10, et division euclidienne d'un entier par un entier inférieur à 100.
Trois niveaux sur la même notion
Différencier ne veut pas dire donner moins à faire. Sur « Comparer, encadrer et calculer avec des décimaux », voici ce que change le niveau — même notion, même séance, trois degrés d'étayage.
Le rang d'abord : lire la valeur d'un chiffre, comparer deux décimaux qui ne diffèrent que par une décimale, avec un tableau de numération fourni.
Ordonner une liste mêlant écritures à virgule et fractions décimales, puis poser une addition et une soustraction où les nombres n'ont pas le même nombre de décimales.
Un problème où l'ordre de grandeur sert de contrôle : estimer avant de calculer, puis vérifier que le résultat posé est cohérent avec l'estimation.
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